Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n-n=2（a_n-2），（n∈N^*）
（1）证明：数列{a_n-1}为等比数列．
（2）若b_n=a_n•log₂（a_n-1），数列{b_n}的前项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式可得数列{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得a_n，根据对数的运算性质可得b_n，利用分组求和和错位相减法求和即可．

解答 解：（1）证明：∵S_n-n=2（a_n-2），n≥2时，S_n-1-（n-1）=2（a_n-1-2）
两式相减 a_n-1=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1∴a_n-1=2（a_n-1-1）
∴$\frac{{{a_n}-1}}{{{a_{n-1}}-1}}=2$（常数）                        
又n=1时，a₁-1=2（a₁-2）得 a₁=3，a₁-1=2
所以数列{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）${a_n}-1=2×{2^{n-1}}={2^n}$
∴${a_n}={2^n}+1$
又  b_n=a_n•log₂（a_n-1）
∴${b_n}=n（{2^n}+1）$
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）+（1+2+3+…+n）
设${A_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…（n-1）×{2^{n-1}}+n×{2^n}$
$2{A_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+…+（n-1）×{2^n}+n×{2^{n+1}}$
两式相减$-{A_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}$
∴${A_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$，
又 $1+2+3+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴${T_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2+\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了递推关系，分组求和和错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题