Question

已知点P在第一象限内，以P为圆心的圆过点A（-1，2）和B（1，4），线段AB的垂直平分线交圆P于C、D两点，且|CD|=2

10

．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程；
（3）若直线AB与x轴交于点M，求

MC

•

MD

的值．

Answer 1

分析：（1）由A（-1，2）和B（1，4）利用中点坐标公式得出AB的中点，再根据垂直关系求出CD的斜率，最后写出直线CD的方程；
（2）设点P的坐标为（a，b），（a＞0，b＞0）设圆P的方程为（x-a）²+（y-b）²=10，利用条件：A在圆P上等求得a值，最后得到圆P的方程；
（3）直线AB的方程为y-2=x+1，令y=0x=-3得M的坐标，设AB与CD交于点E，由题意AB⊥CD，结合向量的运算即可求得

MC

•

MD

的值．

解答：解：（1）∵A（-1，2）和B（1，4）
∴AB的中点为（0，3），∴k_AB=1
∵AB⊥CD∴k_CD=-1---------（2分）
∴直线CD的方程为y=-x+3，即  x+y-3=0---------（4分）
（2）设点P的坐标为（a，b），（a＞0，b＞0）
∵|CD|=2

10

，∴圆P的半径为

10

∴圆P的方程为（x-a）²+（y-b）²=10---------（5分）
∵A在圆P上，∴（a+1）²+（b-2）²=10
∵P在CD上，∴b=3-a，---------（9分）
∴（a+1）²+（1-a）²=10
∴a=±2∵a＞0
∴a=2
∴圆P的方程为  （x-2）²+（y-1）²=10--------（11分）
（3）直线AB的方程为y-2=x+1，即x-y+3=0
令y=0x=-3得∴M （-3，0）--------（12分）
设AB与CD交于点E，由题意AB⊥CD，
∴

ME

•

CE

=0，

ME

•

ED

=0-------（13分）
∴

MC

•

MD

=(

ME

+

EC

)•(

ME

+

ED

)=|

ME

|2+

EC

•

ED

=|

ME

|2+|

EC

|•|

ED

|cos180°
∵ME=

|-3-0-3|

2

=3

2

，PE=2

2

，
∴

EC

•

ED

=2，∴

MC

•

MD

=18-2=16-------（16分）

点评：本题主要考查直线与圆的方程的求解，考查向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．