Question

【题目】如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若，，设的面积为，正方形PQRS的面积为.

（1）用a，表示和；

（2）当a为定值，变化时，求的最小值，及此时的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，的值最小，最小值为

【解析】

（1）利用已知条件，根据锐角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；

（2）根据题意，将表示为的函数，利用倍角公式对函数进行转化，利用换元法，借助对勾函数的单调性，从而求得最小值.

（1）在中，，

所以；

设正方形的边长为x，则，，

由，得，

解得；

所以；

（2）

，

令，因为，

所以，则，

所以；

设，

根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，

因此当时，有最小值，

此时，解得；

所以当时，的值最小，最小值为.