如图,在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE是等腰梯形,BC∥DE, =45
,O是BC的中点,AO=
,且BC=6,AD=AE=2CD=2
,
(1)证明:AO⊥平面BCD;(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
(1)证明详见解析;(2)
解析试题分析:(1)根据勾股定理证,即
,再证
,直线与平面垂直的判定定理即可得证明;
(2)过O点作交CD的延长线于H,根据已知可证
二面角A-CD-B的平面角,然后通过解三角形即可求得.
试题解析:(1)易得OC=3,AD=2,连结OD,OE,在∆OCD中,
由余弦定理可得OD= =
.
∵AD=2,∴
,∴
,
同理可证:,又∵
,
平面BCD ,
平面BCD ,∴AO⊥平面BCD;
(2)方法一:过O点作交CD的延长线于H,连结AH,因为AO⊥平面BCD,所以
,故
为二面角A-CD-B的平面角.
因为OC=3, =45
,所以OH=
,从而tan
=
.
方法二:以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz如图所示.则A(0,0, ),C(0,-3,0),D(1,-2,0),
所以=(0,3,
),
=(-1,2,
).
设为平面ACD的一个法向量,则
,
即 解得
,令x=1,得
.
由(1)知,为平面CDB的一个法向量,所以cos<
>=
=
,
由A-CD-B为锐二面角,所以二面角A-CD-B的平面角的正切值为 .
考点:1. 直线与平面垂直的判定定理;2.直线与平面垂直的性质以及直线与平面所成的角.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=2PD.
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E为PB上的点,且2BE=EP.
(1)证明:AC⊥DE;
(2)若PC=BC,求二面角E-AC一P的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知直角梯形,
是
边上的中点(如图甲),
,
,
,将
沿
折到
的位置,使
,点
在
上,且
(如图乙)
(Ⅰ)求证:平面ABCD.
(Ⅱ)求二面角E?AC?D的余弦值
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