Question

已知幂函数在（0，+∞）上是增函数，，
（1）当时，求g（θ）的值；
（2）求g（x）的最值以及g（x）取最值时x的取值集合．

Answer 1

解：（1）由幂函数的定义可得 n²-2n+1=1，n²-2＞0，故 n=2，f（x）=x²．
∵，∴=sinθ-2cosθ=0，∴tanθ=2．
∴g（θ）=（sinθ+cosθ）²+2cos²θ=1+2sinθcosθ+2cos²θ=1+=1+=1+=．…（6分）
（2）∵g（x）=1+2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x++1=2sin（2x+）++1．
故g（x）的最大值为3+，此时，2x+=2kπ+，x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈z}．
g（x）的最小值为-1，此时，2x+=2kπ-，x的取值集合为{x|x=kπ-，k∈z}．
分析：（1）由幂函数的定义可得 n²-2n+1=1，n²-2＞0，由此求得 n的值，从而得到f（x）的解析式．由 ，求得tanθ=2，利用三角函数的恒等变换化简g（θ）的解析式为1+，运算求得结果．
（2）由于g（x）=1+2sinxcosx+2cos²x，化简为 2sin（2x+）++1，由此求得g（x）的最值以及此时x的取值集合．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，幂函数的定义，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．