Question

已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若，，证明：λ+μ为定值．

Answer 1

解：（1）由已知得，解得
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆方程为．
（2）依题意可设A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有
又，
∴，
将代入即得
所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线上．
（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），
设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），则M、N两点坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以，①，②
因为，所以（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]，
即，所以x₃=λ（1-x₃），
又l与x轴不垂直，所以x₃≠1，
所以，同理．
所以=．
将①②代入上式可得．
分析：（1）根据椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，，建立方程，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆方程；
（2）设出A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），利用A在椭圆上有，求出CA，DB的方程，相乘，即可得到结论；
（3）设直线l的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理及，，求出λ，μ的值，即可得出结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查方程与曲线的关系，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组，利用韦达定理是关键．