Question

4．已知定义域为（1，+∞）的函数f（x）满足：
①对任意x∈（1，+∞），恒有f（2x）=f（x）+1成立；
②当满足x∈（1，2]时，f（x）=sin$\frac{πx}{2}$．求：
（1）f（4）；
（2）f（2ⁿ）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）f（4）=f（2×2）=f（2）+1=sinπ+1=1，
（2）分别求出f（2³），f（2⁴），f（2⁵），得到规律．

解答 解：（1）当满足x∈（1，2]时，f（x）=sin$\frac{πx}{2}$，
∵任意x∈（1，+∞），恒有f（2x）=f（x）+1成立，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+1=sinπ+1=1，
（2）f（2³）=f（2×4）=f（4）+1=2=3-1，
f（2⁴）=f（2×2³）=f（2³）+1=3=4-1，
f（2⁵）=f（2×2⁴）=f（2⁴）+1=4=5-1，
有以上可知，f（2ⁿ）=n-1．

点评 本题主要考查抽象函数的性质，以及综合分析能力和归纳推理的能力，属于基础题．