Question

20．如图，空间四边形ABCD各边边长均为a，M，N分别是对角线BD，AC的中点．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）求直线AB，CD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）可连接BN，DN，根据条件便可求出BN=DN，从而△BDN为等腰三角形，从而MN⊥BD；
（2）可取BC边的中点E，连接NE，ME，从而可得到∠MEN为异面直线AB，CD所成角，可求出△MNE的各边长度，这样根据余弦定理即可求出cos∠MEN，从而求出该角．

解答 解：（1）证明：如图，连接BN，DN，则BN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，M为BD中点；
∴MN⊥BD；
（2）取BC中点E，连接NE，ME，则NE∥AB，ME∥CD；
∴∠MEN或其补角为直线AB，CD所成角；
则在△MNE中，$NE=ME=\frac{a}{2}$，$MN=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$；
∴由余弦定理得：$cos∠MEN=\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{2{a}^{2}}{4}}{2•\frac{a}{2}•\frac{a}{2}}=0$；
∴∠MEN=90°；
∴AB，CD所成的角为90°．

点评 考查空间四边形的定义，直角三角形边角的关系，等腰三角形的中线也是高线，异面直线所成角的概念及求法，以及余弦定理在求三角形的内角中的应用．