Question

19．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知$\frac{1}{3}$S₃，$\frac{1}{4}$S₄的等比中项为$\frac{1}{5}$S₅；$\frac{1}{3}$S₃，$\frac{1}{4}$S₄的等差中项为1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的首项a₁=a，公差为d，则S_n=na+$\frac{n（n-1）}{2}$d，再由等比数列和等差数列的中项的性质，列方程，解方程可得a，d，再由等差数列的通项公式即可得到．

解答 解：设等差数列{a_n}的首项a₁=a，公差为d，
则S_n=na+$\frac{n（n-1）}{2}$d，依题意，有
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}（3a+3d）•\frac{1}{4}（4a+6d）=\frac{1}{25}（5a+10d）^{2}}\\{\frac{1}{3}（3a+3d）+\frac{1}{4}（4a+6d）=2}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{3ad+5{d}^{2}=0}\\{2a+\frac{5}{2}d=2}\end{array}\right.$，
∴a=1，d=0或a=4，d=-$\frac{12}{5}$．
∴a_n=1或a_n=$\frac{32}{5}$-$\frac{12}{5}$n，
经检验，a_n=1和a_n=$\frac{32}{5}$-$\frac{12}{5}$n均合题意．
∴所求等差数列的通项公式为a_n=1或a_n=$\frac{32}{5}$-$\frac{12}{5}$n．

点评 本题考查等差数列和等比数列的性质，同时考查等差数列的通项和求和公式的运用，属于中档题．