Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)²，其中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

Answer 1

解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，所以a＝2.2分

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)²，所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)^2,3<x<6.6分

从而，f′(x)＝10[(x－6)²＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).9分

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(3,4)	4	(4,6)
f′(x)	＋	0	－
f(x)	单调递增	极大值42	单调递减

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.12分

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.13分