Question

已知m∈R，设P：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个根，不等式|m-5|≤|x₁-x₂|对任意实数a∈[1，2]恒成立；Q：函数f（x）=3x²+2mx+m+

4

3

有两个不同的零点．求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围．

Answer 1

分析：利用二次方程的韦达定理求出|x₁-x₂|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出命题p为真命题时m的范围；
利用二次方程有两个不等根判别式大于0，求出命题Q为真命题时m的范围；P且Q为真转化为两个命题全真，
求出m的范围．

解答：解：由题设x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

．
当a∈[1，2]时，

a2+8

的最小值为3．
要使|m-5|≤|x₁-x₂|对任意实数a∈[1，2]恒成立，只须|m-5|≤3，即2≤m≤8．
由已知，得f（x）=3x²+2mx+m+

4

3

=0的判别式
△=4m²-12（m+

4

3

）=4m²-12m-16＞0，
得m＜-1或m＞4．
综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即

2≤m≤8 m＜-1或m＞4

，

2≤m≤8 m＜-1或m＞4

，
解得实数m的取值范围是（4，8]．

点评：本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系．