Question

如图ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，M、N分别是线段AD₁和BD上的中点
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面B₁D₁C；
（Ⅱ）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为a，若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B₁、M两点的坐标，并求线段B₁M的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明：连接CD₁、AC、则N是AC的中点，由三角形中位线证得MN∥CD₁，从而由线面平行的判定定理证得直线MN∥平面B₁D₁C；（Ⅱ）先求得各点的坐标，再由两点间的距离公式求解．

解答：证明：（Ⅰ）证明：连接CD₁、AC、则N是AC的中点（2分）
在△ACD₁，又M是AD₁的中点
∴MN∥CD₁，又CD₁?平面ACD₁．（3分）∴MN∥平面ADC₁．（5分）
（Ⅱ）B₁（a，a，a），M（

a

2

，0，

a

2

）（8分）|B1M|=

(a- a 2 )2+(a-0)2+(a- a 2 )2

=

6

2

a（10分）

点评：本题主要考查空间线线、线面、面面位置平行关系转化，空间直角坐标系的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．