Question

在平面直角坐标系xOy中，若直线y=kx+1与曲线y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四个公共点，则实数k的取值范围是

{-

1

8

，0，

1

8

}

．

Answer 1

分析：令t=x-

1

x

=

x2-1

x

=

(x-1)(x+1)

x

，通过分类讨论，去掉绝对值符号，得到分段函数表达式，作出其图象即可得到答案．

解答：解：t=x-

1

x

=

x2-1

x

=

(x-1)(x+1)

x

①若x＜-1，t＜0，y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（-x-

1

x

）-（

1

x

-x）=-

2

x

；
②若-1＜x＜0，t＞0，y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（-x-

1

x

）-（x-

1

x

）=-2x；
③若0＜x＜1，t＜0，则y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（x+

1

x

）-（

1

x

-x）=2x；
④若x＞1即 t＞0，则曲线y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（x+

1

x

）-（x-

1

x

）=

2

x

．
∴y=

- 2 x (x＜-1) -2x(-1＜x＜0) 2x(0＜x＜1) 2 x (x＞1)

，作图如右：

由于直线y=kx+1经过定点A（0，1），当过A点的直线m与曲线y=-

2

x

相切时，直线m与曲线y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四个公共点，
设切点坐标为：（x₀，y₀），则k=（-

2

x

）′|x=x0=

2

x02

，
∴y₀=-

2

x0

=kx₀+1=

2

x02

•x₀+1，解得；x₀=-4，
∴k=

2

x02

=

1

8

；
同理，可得当直线n与曲线y=

2

x

相切时，直线n与曲线y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四个公共点，可求得直线n的斜率为k′=-

1

8

；
当过A点的直线l∥x轴，即其斜率为0时，直线l与曲线y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四个公共点；
综上所述，实数k的取值范围是{

1

8

，0，-

1

8

}．
故答案为：{

1

8

，0，-

1

8

}．

点评：本题考查带绝对值的函数，关键在于去绝对值符号，难点在于分类讨论去绝对值符号，考查作图能力，属于难题．