Question

2．若四面体ABCD中，AB=CD=BC=AD=$\sqrt{5}$，AC=BD=$\sqrt{2}$，则四面体的外接球的表面积为6π．

Answer 1

分析 将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．

解答 解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{2}$为三边的三角形作为底面，
且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，
并且x²+y²=5，x²+z²=5，y²+z²=2，
则有（2R）²=x²+y²+z²=6（R为球的半径），
所以球的表面积为S=4πR²=6π．
故答案为：6π．

点评 本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．