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已知函数f(x)=ax3+bx2+(b-a)x(a,b是不同时为零的常数),其导函数为f'(x).
(1)当时,若不等式对任意x∈R恒成立,求b的取值范围;
(2)若函数f(x)为奇函数,且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0,关于x的方程在[-1,t](t>-1)上有且只有一个实数根,求实数t的取值范围.
【答案】分析:(1)求导函数,将不等式对任意x∈R恒成立,转化为x2+2bx+b>0恒成立,利用判别式,即可确定b的取值范围;
(2)先确定函数的解析式,确定f(x)的单调性,由f(x)=0解得x=±1,x=0;
法一:作y=f(x)与的图象,若只有一个交点,结合图象分类讨论;
法二:作y=f(x)与的图知交点横坐标为,x=0,当时,过图象上任意一点向左作平行于x轴的直线与y=f(x)都只有唯一交点,当x取其它任何值时都有两个或没有交点,由此可得结论.
解答:解:(1)当时,,…(1分)
依题意 即x2+2bx+b>0恒成立
∴△=4b2-4b<0,解得 0<b<1
所以b的取值范围是(0,1)…(4分)
(2)因为f(x)=ax3+bx2+(b-a)x为奇函数,所以b=0,所以f(x)=ax3-ax,f'(x)=3ax2-a.
又f(x)在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0,所以a=1,即f(x)=x3-x.…(6分)
∴f(x)在上是单调递增函数,在上是单调递减函数,
由f(x)=0解得x=±1,x=0,…(7分)
法一:如图所示,作y=f(x)与的图象,若只有一个交点,则
①当时,,即,解得
②当时,,解得;③当t=0时,不成立;
④当时,,即,解得
⑤当时,,解得
⑥当t>1时,.…(13分)
综上t的取值范围是.…(14分)
法二:作y=f(x)与的图知交点横坐标为,x=0
时,过图象上任意一点向左作平行于x轴的直线与y=f(x)都只有唯一交点,当x取其它任何值时都有两个或没有交点.
所以当时,方程在[-1,t](t>-1)上有且只有一个实数根.

点评:本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题,考查数形结合的数学思想,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
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1
2
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1
4
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