Question

如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△AED绕边DE旋转过程中的一个图形．
（I）求证点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
（II）求当A′E⊥BD时△A′DE所转过的角的大小．

Answer 1

分析：（I）根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面A'GA，而DE∥A'H从而得到A'H⊥平面ABC，最终说明了点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
（II）易知点H为正△ADE的中心，根据二面角平面角的定义可知∠A'GA是二面角A'-DE-A的平面角，在三角形而A'GA中求出此角，而二面角A'-DE-A的大小即为当AE⊥BD时，△A'DE所旋转过的角的大小．

解答：解：（I）在平面A’FA内过点A’作A’H⊥AF，垂足为H
因为DE⊥AF，DE⊥A'G?DE⊥平面A'GA（4分）
所以DE∥A'H?A'H⊥平面ABC（6分）
即点A′在平面ABC上的射影在线段AF上（7分）
（II）由（I）知A'H⊥平面ABC，
又A′E⊥BD，所以EH⊥BD（9分）
则点H为正△ADE的中心，所以HG=

1

3

AG=

1

3

A'G
因为DE⊥AF，DE⊥A'G?∠A'GA是二面角A'-DE-A的平面角．（11分）
而cos∠A′GA=

HG

A′G

=

1

3

，
所以二面角A'-DE-A的大小为arccos

1

3

（13分）
二面角A'-DE-A的大小即为当AE⊥BD时，△A'DE所旋转过的角的大小．
故所求角等于arccos

1

3

（14分）

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及二面角的度量，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力．