Question

12．已知正三棱锥底面的边长是$\frac{15}{2}$，高与侧棱的夹角为60°，求它的侧面积和表面积．

Answer 1

分析 由已知条件求出正三棱锥的高、斜高，由此能求出它的侧面积和表面积．

解答 解：如图，∵正三棱锥S-ABC底面△ABC的边长是$\frac{15}{2}$，高SO与侧棱SA的夹角为60°，
∴∠ASO=60°，AO=$\frac{2}{3}\sqrt{（\frac{15}{2}）^{2}-（\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴SA=5，SO=$\frac{5}{2}$，OD=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，SD=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{3}}{4}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，
∴它的侧面积S_侧=3×（$\frac{1}{2}×\frac{15}{2}×\frac{5\sqrt{7}}{4}$）=$\frac{225\sqrt{7}}{16}$．
它的表面积S_表=S_侧+S_底
=$\frac{225\sqrt{7}}{16}$+$\frac{1}{2}×\frac{15}{2}×\frac{15}{2}×sin60°$
=$\frac{225\sqrt{7}+225\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查正三棱锥的侧面积和表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的结构特征的合理运用．