Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D在棱PB上．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）根据条件中的线面垂直，写出线线垂直，根据两条直线所成的角是一个直角，得到线与线垂直，这样存在一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，得到线与面垂直．
（2）要求线与面所成的角，首先要做出角，再证明角就是线面角，最后再放到一个可解的三角形中，求出角，本题符合这个思路．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABC∴PA⊥BC，
又∠BCA=90°∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面APC
（2）∵D为PB中点，DE∥BC∴DE=

1

2

BC
又BC⊥平面PAC∴DE⊥平面PAC
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角
∵PA⊥底面ABC∴PA⊥AB又PA=AB
∴△ABC为等腰直角三角形
∴AD=

1

2

AB，又∠ABC=60°∴BC=

1

2

AB
∴在Rt△ABC中，sin∠DAE=

DE

AD

=

2

4

∴AD与平面PAC所成的角的大小为arcsin

2

4

点评：在第二问中题目是一个求线面角的题目，这样的题目可以利用空间向量来解，若用空间向量来解，题目的重点是数字的运算，而本方法是考查推理证明．