Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．?
（1）证明：BD⊥AA₁；?
（2）证明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁
（3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）连BD，则BD⊥AC，再根据面面垂直的性质定理可得：BD⊥平面AA₁C₁C，进而根据线面垂直的性质定理可得：BD⊥AA₁?
（2）连AB₁，B₁C，由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性质知：AB₁∥DC₁，AD∥B₁C，AB₁∩B₁C=B₁，A₁D∩DC₁=D，则根据面面平行的判定定理即可证明结论．?
（3）存在这样的点P，根据平行六面体的性质可得：A₁D∥B₁C，在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP，得到BB₁∥CP，即可得到BP∥A₁D，进而得到线面平行．

解答：证明：（1）连BD，
∵面ABCD为菱形，∴BD⊥AC
因为平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，?
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
又因为AA₁?平面AA₁C₁C，
所以BD⊥AA₁?
（2）连AB₁，B₁C，由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性质知：AB₁∥DC₁，AD∥B₁C，AB₁∩B₁C=B₁，A₁D∩DC₁=D，
所以由面面平行的判定定理知：平面AB₁C∥平面DA₁C₁?
（3）存在这样的点P，
因为A₁B₁∥AB∥DC，
所以四边形A₁B₁CD为平行四边形．?
所以A₁D∥B₁C，
在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP，
因为B₁B∥CC₁，
所以BB₁∥CP，
所以四边形BB₁CP为平行四边形，即BP∥B₁C，
所以BP∥A₁D，
所以BP∥平面DA₁C₁，
所以在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁．

点评：本题主要考查线面平行、线线平行、面面平行的判定定理与性质定理，解决此类问题的关键是熟练掌握有关定理以及空间几何体中点、线、面之间的位置关系．