Question

【题目】在钝角△ABC中，∠A为钝角，令，若．现给出下面结论：

①当时，点D是△ABC的重心；

②记△ABD，△ACD的面积分别为，，当时，；

③若点D在△ABC内部（不含边界），则的取值范围是；

④若点D在线段BC上（不在端点），则

⑤若，其中点E在直线BC上，则当时，．

其中正确的有（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①由共面向量基本定理，结合向量加法的平行四边形法则，判定即可。

②根据向量加法运算并结合等底等高三角形的面积，求得即可判断。

③根据点D在三角形内部，可求得x、y的取值范围，根据斜率的意义并结合线性规划的内容，综合求得斜率的取值范围。

④根据点D在BC上，求得x与y的关系，结合基本不等式即可求得最值。

⑤根据平面向量基本定理，求得 的值。

① ，时， ，所以D为靠近A的三等分点，即为△ABC的重心。所以①正确

②设

则，即

所以 ，所以②正确

③因为D在△ABC内部，所以

即为（x，y）与（-2，-1）连线斜率的取值范围，由求线性规划的线性目标函数的取值方法可知， 所以，所以③正确。

④若D在BC上，则 所以

当且仅当 时取得等号，所以④正确

⑤当 时，

因为 ，所以

因为E在BC上，所以

所以 ，所以⑤错误

综上，正确答案为①②③④