Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，其中，a_n≠0，a₁为常数，且-a₁，S_n，a_n+1成等差数列．求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由题意可得，2S_n=a_n+1-a₁，进一步得到2S_n-1=a_n-a₁（n≥2），与原递推式作出后可得数列{a_n}是以a₁为首项，以3为公比的等比数列．由此求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由-a₁，S_n，a_n+1成等差数列，得
2S_n=a_n+1-a₁   ①，
∴2S_n-1=a_n-a₁（n≥2）②．
①-②得：2a_n=a_n+1-a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2）．
∵a_n≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$（n≥2）．
由①得，2a₁=a₂-a₁，即a₂=3a₁，满足$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$．
∴数列{a_n}是以a₁为首项，以3为公比的等比数列．
则${a}_{n}={a}_{1}•{3}^{n-1}$．

点评 本题主要考查数列的递推关系式，考查了等比关系的确定，考查等比数列通项公式的求法，是中档题．