【题目】函数,.
(1)若,设,试证明存在唯一零点,并求的最大值;
(2)若关于的不等式的解集中有且只有两个整数,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)根据零点存在性定理,首先证明函数的单调性,再证明存在区间使 即证明;求函数的最大值,先求函数的导数求导函数的零点,并判断零点两侧的单调性,即可求得函数的最大值;(2)不等式等价于,然后参变分离为 ,利用导数分析函数 以及函数,根据所分析函数性质,当时,只有2个正整数解,求的取值范围.
试题解析:(1)证明:由题意知,
于是
令,,
∴在上单调递减.
又,
所以存在,使得,
综上存在唯一零点.
解:当,于是,在单调递增;
当,于是,在单调递减;
故,
又,,,
故.
(2)解:等价于.
,
令,则,
令,则,即在上单调递增.
又,
∴存在,使得.
∴当在上单调递增;
当在上单调递减.
∵,,
且当时,,
又,,
故要使不等式解集中有且只有两个整数,的取值范围应为
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【题目】在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且 a=2csinA
(1)确定角C的大小;
(2)若c= ,且△ABC的面积为 ,求a+b的值.
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【题目】请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
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【题目】设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P,设AB=x,求△ADP的最大面积及相应x的值.
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【题目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如图,其中,,,点是线段的中点.
(Ⅰ)试问在线段上是否存在点,使得直线平面?若存在,请证明平面,并求出的值;若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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【题目】某单位名员工参加“我爱阅读”活动,他们的年龄在25岁至50岁之间,按年龄分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.
(I)现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人,则年龄在第组的员工人数分别是多少?
(II)为了交流读书心得,现从上述人中再随机抽取人发言,设人中年龄在的人数为,求的数学期望;
(III)为了估计该单位员工的阅读倾向,现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查,调查结果如下表所示:(单位:人)
喜欢阅读国学类 | 不喜欢阅读国学类 | 合计 | |
男 | 14 | 4 | 18 |
女 | 8 | 14 | 22 |
合计 | 22 | 18 | 40 |
根据表中数据,我们能否有的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系?
附:,其中
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】某家具厂有方木料,五合板,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料,五合板,生产每个书橱需要方木料,五合板,出售一张书桌可获利润元,出售一个书橱可获利润元.
(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少?
(2)如果只安排生产书橱,可获利润多少?
(3)怎样安排生产可使所得利润最大?
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【题目】如图已知椭圆C: +y2=1,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0).设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求 的最小值;
(2)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:丨OR丨丨OS丨为定值.
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