Question

已知函数f(x)=cos2(x+

π

12

)-1，g(x)=

1

2

sin2x，．
（Ⅰ）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x₀）的值；
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，根据x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求出2x₀的值，代入g（x）即可求出g（x₀）的值；
（Ⅱ）将f（x）与g（x）代入h（x）=f（x）+g（x）中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可求出h（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由题知f（x）=

1

2

cos（2x+

π

6

）-

1

2

，
∵x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴2x₀+

π

6

=kπ（k∈Z），即2x₀=kπ-

π

6

（k∈Z），
∴g（x₀）=

1

2

sin2x₀=

1

2

sin（kπ-

π

6

），
则当k为偶数时，g（x₀）=

1

2

sin（-

π

6

）=-

1

4

，当k为奇数时，g（x₀）=

1

2

sin

π

6

=

1

4

；
（Ⅱ）由题知h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

cos（2x+

π

6

）-

1

2

+

1

2

sin2x=

1

2

[cos（2x+

π

6

）+sin2x]-

1

2

=

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）-

1

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）-

1

2

，
∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴h（x）的值域为[-1，0]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．