Question

函数f(x)=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R）有如下命题：
（1）函数y=（x）图象关于y轴对称
（2）当x＞0时，f（x）是增函数，x＜0时，f（x）是减函数
（3）函数f（x）的最小值是lg2
（4）当-1＜x＜0或x＞1时，f（x）是增函数，其中正确命题的序号

①③④

．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=f（x）可判断（1）的正确与否；
（2）令g(x)=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，则x＞0时，g(x)=x+

1

x

利用其单调性可判断（2）的正误；
（3由g(x)=

x2+1

|x|

的最小值可判断③；
（4）利用复合函数的性质可判断④的正误．

解答：解：（1）∵f（-x）=f（x）∴可（1）正确；
（2）令g(x)=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，则x＞0时，g(x)=x+

1

x

，又g(x)=x+

1

x

先减后增，故（2）错误；
（3）∵g（x）_min=2，∴函数f（x）的最小值是lg2，故（3）正确；
（4）∵令g(x)=

x2+1

|x|

在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴f(x)=lg

x2+1

|x|

在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，又f(x)=lg

x2+1

|x|

为偶函数，∴f(x)=lg

x2+1

|x|

在（-1，0）或（1，+∞）单调递增；故（4）正确；
故正确答案为：①③④．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性，难点在于对复合函数的单调性的分析，属于中档题．