Question

以下结论正确的是（　　）

• A．“sinα=

  1

  2

  ”是“cos2α=

  1

  2

  ”的充分而不必要条件
• B．函数f（x）=2^x+3x的零点在区间（0，1）内
• C．函数y=sin2x的图象向左平移

  π

  3

  个单位后，得到函数y=sin(2x+

  π

  3

  )图象
• D．对于直线m，n和平面α，若m⊥α，m⊥n，则n∥α．

Answer 1

分析：通过三角恒等变换，得到A正确；根据函数零点的存在性定理，得到B不正确；根据正弦函数的图象变换，得到C不正确；根据空间中线面位置关系的有关结论，得到D不正确．由此可得本题的答案．

解答：解：对于A，由于cos2α=

1

2

，则1-2sin²α=

1

2

，解得sinα=±

1

2

，
当sinα=

1

2

时，cos2α=1-2sin²α=

1

2

，
故“sinα=

1

2

”是“cos2α=

1

2

”的充分而不必要条件，故A正确；
对于B，由于f（0）=2⁰+3×0=1＞0，f（1）=2¹+3×1=5＞0
根据函数零点的存在性定理，得到函数f（x）=2^x+3x在区间（0，1）内不存在零点，故B不正确；
对于C，由于函数y=sin2x的图象向左平移

π

3

个单位后，
得到函数y=sin2（x+

π

3

）的图象，不是y=sin(2x+

π

3

)的图象，故C不正确；
对于D，对于直线m，n和平面α，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α．故D不正确．
故答案为：A

点评：本题通过命题真假的判断为载体，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象变换和充分必要条件的判断等知识，属于基础题．