Question

19．实数a、b、c满足a²+b²+c²=5．则6ab-8bc+7c²的最大值为45．

Answer 1

分析 将a²+b²+c²分拆为a²+（$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}$）b²+（$\frac{2}{9}$+$\frac{7}{9}$）c² 是解决本题的关键，再运用基本不等式a²+b²≥2ab求最值．

解答 解：因为5=a²+b²+c²=a²+（$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}$）b²+（$\frac{2}{9}$+$\frac{7}{9}$）c²
=（a²+$\frac{1}{9}$b²）+（$\frac{8}{9}$b²+$\frac{2}{9}$c²）+$\frac{7}{9}$c²
≥$\frac{2}{3}$|ab|+$\frac{8}{9}$|bc|+$\frac{7}{9}$c²
≥$\frac{2}{3}$ab-$\frac{8}{9}$bc+$\frac{7}{9}$c²
=$\frac{1}{9}$[6ab-8bc+7c²]，
所以，6ab-8bc+7c²≤9×5=45，
即6ab-8bc+7c²的最大值为45，当且仅当：a²=$\frac{1}{9}$b²，$\frac{8}{9}$b²=$\frac{2}{9}$c²，
解得，a²=$\frac{5}{46}$，b²=$\frac{45}{46}$，c²=$\frac{180}{46}$，且它们的符号分别为：a＞0，b＞0，c＜0或a＜0，b＜0，c＞0．
故答案为：45．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，以及基本不等式取等条件的确定，充分考查了等价转化思想与合理分拆的运算技巧，属于难题．