Question

设互不相等的平面向量组

ai

（i=1，2，3，…），满足：①|

ai

|=2；②

ai

•

ai+1

=0，若

Tm

=

a1

+

a2

+…+

am

（m≥2），则|

Tm

|的取值集合为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由|

ai

|=2，

ai

•

ai+1

=0，（i∈N^*）．可得

a1

⊥

a2

，

a2

⊥

a3

，

a3

⊥

a4

，

a1

=-

a3

，

a2

=-

a4

，

a1

⊥

a4

，且i的最大值为4.

Tm

2=

a1

2+

a2

2+…+

am

2+2(

a1

•

a2

+

a1

•

a3

+…+

am-1

•

am

)，对m分类讨论即可得出．

解答： 解：∵|

ai

|=2，

ai

•

ai+1

=0，（i∈N^*）．
∴

a1

⊥

a2

，

a2

⊥

a3

，

a3

⊥

a4

，
∴

a1

=-

a3

，

a2

=-

a4

，

a1

⊥

a4

，且i的最大值为4．

Tm

2=(

a1

+

a2

+…+

a4

)2=

a1

2+

a2

2+…+

am

2+2(

a1

•

a2

+

a1

•

a3

+…+

am-1

•

am

)=4m+2(

a1

•

a2

+

a1

•

a3

+…+

am-1

•

am

)，

若m=2时，

T2

2=8，∴|

T2

|=2

2

；
若m=3时，

T3

2=4，∴|

T3

|=2；
若m=4时，

T4

2=4×4-2×8=0，∴|

T4

|=0．
∴|T_m|的取值集合为{0，2，2

2

}．
故答案为：{0，2，2

2

}．

点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．