Question

15．利用函数单调性的定义证明函数f（x）=$\frac{3x+1}{x-1}$在（2，+∞） 上是单调减函数．

Answer 1

分析 先将原函数变成f（x）=$3+\frac{4}{x-1}$，根据减函数的定义，设x₁＞x₂＞2，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 证明：f（x）=$\frac{3（x-1）+4}{x-1}=3+\frac{4}{x-1}$；
设x₁＞x₂＞2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{4}{{x}_{1}-1}-\frac{4}{{x}_{2}-1}$=$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$；
∵x₁＞x₂＞2；
∴x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（2，+∞）上是单调减函数．

点评 考查分离常数法化简函数解析式，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法及过程．