Question

17．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B₁-A₁BE的体积；
（2）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥面A₁BE？若存在，试确定点F的位置，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用等体积转换，即可求三棱锥B₁-A₁BE的体积；
（2）设AB₁∩A₁B=O，取C₁D₁中点F，连接OE、EB、B₁F．根据三角形中位线定理，得EF∥C₁D且EF=$\frac{1}{2}$C₁D，平行四边形AB₁C₁D中，有B₁O∥C₁D且B₁O=$\frac{1}{2}$C₁D，从而得到EF∥B₁O且EF=B₁O，四边形B₁OEF为平行四边形，B₁F∥OE，所以B₁F∥平面A₁BE，即存在C₁D₁中点F，使B₁F∥平面A₁BE．

解答
解：（1）${V}_{{B}_{1}-{A}_{1}BE}$=${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}×1×（\frac{1}{2}×1×1）$=$\frac{1}{6}$
（2）当点F为C₁D₁中点时，可使B₁F∥平面A₁BE．
证明如下：
∵△C₁D₁D中，EF是中位线，∴EF∥C₁D且EF=$\frac{1}{2}$C₁D，
设AB₁∩A₁B=O，则平行四边形AB₁C₁D中，B₁O∥C₁D且B₁O=$\frac{1}{2}$C₁D，
∴EF∥B₁O且EF=B₁O，
∴四边形B₁OEF为平行四边形，B₁F∥OE．
∵B₁F?平面A₁BE，OE?平面A₁BE，
∴B₁F∥平面A₁BE．

点评 本题在正方体中，证明面面垂直并且探索线面平行的存在性，着重考查了正方体的性质、线面平行的判定，以及线面垂直、面面垂直的判定与性质、考查三棱锥B₁-A₁BE的体积等知识，属于中档题．