Question

【题目】定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．

令y=﹣x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），

又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．

即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数

（2）解：f（x）在R上是单调增函数，又由（1）知f（x）是奇函数．

∵f（k3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），

∴k3x＜﹣3x+9x+2，

∴32x﹣（1+k）3x+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3x＞0，问题等价于t2﹣（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．

令g（t）=t2﹣（1+k）t+2，其对称轴为

当 ，即k＜﹣1时，g（0）＞2，符合题意；

当 ，即k≥﹣1时，则△=（1+k）2﹣4×2＜0，∴

综上，

【解析】（1）根据f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），分别令x=y=0，y=﹣x，即可证得结论；（2）根据f（x）在R上是单调增函数，且是奇函数，将f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，转化为32x﹣（1+k）3x+2＞0对任意x∈R成立，进而可利用换元法及分类讨论的思想，即可求得实数k的取值范围．
【考点精析】利用函数单调性的性质和奇偶性与单调性的综合对题目进行判断即可得到答案，需要熟知函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．