Question

【题目】在120°的二面角α－－β的两个面内分别有点A，B，A∈α，B∈β，A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，且线段AB＝10.

(1)求C，D间的距离；

(2)求直线AB与平面β所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)6 (2)

【解析】

（1）要求CD长，应将CD放在三角形中，过点C作BD的平行线，取CE＝BD＝4，根据余弦定理可求出AE的长，最后在直角三角形AEB求出BE长，而四边形BECD为矩形，即可求出所求；

（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F，利用面面垂直的性质即可证明AF⊥平面Q，从而得到∠ABF是直线AB和平面Q所成的角．

（1）过点C作BD的平行线，取CE＝BD＝4，

∵AC⊥l，而CE⊥l，则∠ACE＝120°

根据余弦定理可知cos∠ACE

解得：AE

而三角形AEB为直角三角形，则BE＝6

即CD＝6

（2）在△ACE所在的平面内，作AO⊥CE交CE的反向延长线于点O．

∵平面ACE⊥平面β，∴AF⊥平面β．

在△ACO中，∠ACO＝60°，AC＝2，∴AO．

连接OB，于是∠ABO是AB和平面β所成的角，

在△ABO为直角三角形，

∴．