Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-x+c（a，b，c∈R且a≠0），
（1）若b=1且f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）若存在实数x₁，x₂（x₁≠x₂）满足f（x₁）=f（x₂），是否存在实数a，b，c使f（x）在

x1+x2

2

处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数a，b，c否则说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，得（2，+∞）上存在区间使f'（x）＞0；然后根据f'（x）=3ax²+2x-1为二次函数，则对a进行分类讨论；特别是a＜0时，有f'（x）=3ax²+2x-1=0在（2，+∞）上有一解或两解两种情况；最后列出相应的不等式或不等式组解之即可．
（2）首先由f（x₁）=f（x₂）代入f（x）整理可得a（x₁²+x₁x₂+x₂²）+b（x₁+x₂）-1=0；再化简可得f′（

x1+x2

2

）=
-

a

4

（x₁-x₂）²≠0；最后判断出不存在这样的实数a，b，c满足条件．

解答：解：（1）当b=1时f'（x）=3ax²+2x-1，f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，即f'（x）在（2，+∞）上存在区间使f'（x）＞0．
①a＞0时，f'（x）=3ax²+2x-1是开口向上的抛物线．
显然f'（x）在（2，+∞）上存在区间，使f'（x）＞0即a＞0适合．
②a＜0时，f'（x）=3ax²+2x-1是开口向下的抛物线．
要使f'（x）在（2，+∞）上存在区间有f'（x）＞0，则f'（x）=3ax²+2x-1=0在（2，+∞）上有一解或两解．
即f'（2）＞0或

△＞0 f′(2)≤0 - 1 3a ＞2

?a＞-

1

4

或无解，
又a＜0∴a∈(-

1

4

，0)
综合得a∈(-

1

4

，0)∪(0，+∞)
（2）不存在实数a，b，c满足条件．
事实上，由f（x₁）=f（x₂）得：a（x₁³-x₂³）+b（x₁²-x₂²）-（x₁-x₂）=0
∵x₁≠x₂∴a（x₁²+x₁x₂+x₂²）+b（x₁+x₂）-1=0
又f'（x）=3ax²+2bx-1
∴f′(

x1+x2

2

)=3a(

x1+x2

2

)2+2b•

x1+x2

2

-1
=3a•

x 2 1 + x 2 2 +2x1x2

4

+1-a(

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

)-1=-

a

4

(x1-x2)2
∵a≠0且x1-x2≠0∴f′(

x1+x2

2

)≠0
故不存在实数a，b，c满足条件．

点评：本题考查了函数单调性与其导数的关系，及导数的几何意义等基本知识；同时考查了学生分类讨论的思想方法与代数运算能力．