Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣klnx，（常数k＞0）．
（1）试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x≥1，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=1﹣ ，且定义域为（0，+∞），

当f'（x）＞0，即有x＞k；所以f（x）的单调增区间为（k，+∞）；

当f'（x）＜0，即有0＜x＜k，所以f（x）的单调减区间为（0，k）

（2）解：若0＜k＜1，函数f（x）在（1，+∞）上递增，故只要f（1）=1＞0即可；

若k＞1，函数f（x）在（1，k）上递减，在（k，+∞）上递增，

故只要f（k）=k（1﹣lnk）＞0，即1＜k＜e；

若k=1时，f（x）=x﹣lnx，对x≥1，有f（x）＞0成立；

故实数k的取值范围为（0，e）

【解析】（1）首先对f（x）求导，当f'（x）＞0即可求出单调递增区间，f'（x）＜0即可求出单调递减区间；（2）分类讨论参数k的取值范围，根据函数的单调性与最值判断即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．