Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3-2x）＞0，求x的取值范围；
（3）若f(1)=

8

3

，且函数g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），在上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）为奇函数，根据f（0）=0，可求出常数k的值；
（2）根据f（x）为奇函数，可将f（x+2）+f（3-2x）＞0化为f（x+2）＞f（2x-3），进而根据函数的单调性，转化为具体不等式进行解答
（3）根据f(1)=

8

3

，求出a值，进而t=3^x-3^-x，根据二次函数在定区间上的最值问题，分类讨论，可得m的值．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，
∴k-1=0，
∴k=1
经验证可知k=1时符合题意．…（4分）
（2）因f（x）是奇函数，
故f（x+2）+f（3-2x）＞0可化为f（x+2）＞f（2x-3）．…（6分）
∵0＜a＜1，
∴f（x）在R上是单调减函数，…（8分）
∴x+2＜2x-3，
∴x＞5
∴满足为f（x+2）+f（3-2x）＞0的x的取值范围为（5，+∞）…（10分）
（3）∵f（1）=

8

3

，
∴a-

1

a

=

8

3

，即3a²-8a-3=0，
∴a=3（或a=-

1

3

舍去）．…（12分）
∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）+2=（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2
令t=3^x-3^-x，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=

8

3

．
∴（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2=（t-m）²+2-m²．
当m≥

8

3

时，2-m²=-2，m=2，2＜

8

3

，故m=2应舍去；…（14分）
当m＜

8

3

时，(

8

3

)2-2m×

8

3

+2=-2，m=

25

12

＜

8

3

．
∴m=

25

12

．…（16分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数的单调性的性质，函数与方程的综合应用，是函数图象和性质及方程的综合应用，难度中档．