Question

（理科做）设f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N^*时，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）．

Answer 1

分析：分析：首先题目要求应用数学归纳法证明不等式，数学归纳法的一般步骤是，第一步验证第一项是否成立，第二步假设n=k时候结论成立，去验证n=k+1时候结论是否成立．若都成立即得证．

解答：解：1⁰、当n=2时，等式左边=2+f（1）=2+1=3
等式右边=2f(2)=2(1+

1

2

)=3，∴原式成立；…（4分）
2⁰、假设n=k（k≥2）成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）…（6分）
∵f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，∴f(n+1)=f(n)+

1

n+1

（这步可置于后）…（8分）
则当n=k+1时，
等式左边=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）
=k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+f（k）+1…（10分）
=(k+1)f(k)+1=(k+1)[f(k)+

1

k+1

]=(k+1)f(k+1)
即当n=k+1时，等式也成立．…（12分）
综上1⁰，2⁰可得当n≥2，n∈N^*时，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）均成立
…（14分）

点评：点评：此题主要考查数列的递推公式和利用数学归纳法进行证明，归纳法是高考中常考的方法，几乎每年都考，对此学生要引起注意，多加练习．