Question

某企业2012年初用72万元购进一台设备，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用n后该设备的盈利额为f（n）
（Ⅰ）写出f（n）的表达式
（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；
（Ⅲ）用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以48万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备．问用哪种方案处理较为合理？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意，根据第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，由此可得f（n）的表达式
（Ⅱ）由f（n）＞0，即可得到结论；
（Ⅲ）方案①利用基本不等式求最值，方案②利用配方法求最值，比较即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：f（n）=50n-72-[12n+•4]=-2n²+40n-72（n∈N₊）．…（3分）
（Ⅱ）由f（n）＞0得：-2n²+40n-72＞0即n²-20n+36＜0，解得2＜n＜8，
由n∈N₊知，从第三年开始盈利…（6分
（Ⅲ）方案①：年平均纯利润=40-2（n+）≤16，当且仅当n=6时等号成立．
故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6．…（10分）
方案②：f（n）=-2（n-10）²+128．当n=10时，f（n）_max=128．
故方案②共获利128+16=144（万元）．…（13分）
比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．…（14分）
点评：本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式与配方法求函数的最值，属于中档题．