Question

若直线mx+ny=4和⊙O：x²+y²=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的交点个数为（　　）

A．0个

B．1个

C．至多1个

D．2个

Answer 1

分析：先根据题意可知圆心（0，0）到直线mx+ny-4=0的距离大于 2求得m和n的范围，可推断点P（m，n）是以原点为圆心，2为半径的圆内的点，根据圆的方程和椭圆方程可知圆内切于椭圆，进而可知点P是椭圆内的点，进而判断可得答案．

解答：解：由题意可得，

4

m2+n2

＞2
∴m²+n^2_＜4
所以点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．
∵椭圆的长半轴 3，短半轴为 2
∴圆m²+n²=4内切于椭圆
∴点P是椭圆内的点
∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆相交，它们的公共点数为2．
故选D．

点评：此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，会用点到直线的距离公式化简求值，以及掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的思想方法．