Question

7．已知p：对x∈R，ax²+ax+1＞0恒成立； q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；如果p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q成立的等价条件，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．

解答 解：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△＜0\end{array}\right.$?0≤a＜4；
关于x的方程x²-x+a=0有实数根?△=1-4a≥0?a≤$\frac{1}{4}$；
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，
如果p真q假，
则有0≤a＜4，且a＞$\frac{1}{4}$
∴$\frac{1}{4}$＜a＜4；
如果p假q真，
则有a＜0，或a≥4，且a≤$\frac{1}{4}$
∴a＜0．
综上$\frac{1}{4}$＜a＜4或a＜0，
所以实数a的取值范围为（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）． 
故答案为：（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．