精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知,椭圆C以双曲线x2-
y2
3
=1
的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是左右顶点),且以线段MN为直径的圆过点A(2,0),求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
根据题意:双曲线x2-
y2
3
=1
的焦点坐标为(-2,0),(2,0),顶点坐标为(-1,0),(1,0)
∵椭圆C以双曲线x2-
y2
3
=1
的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点.
∴椭圆的顶点为(-2,0),(2,0),焦点坐标为2,(-1,0),(1,0)
∴a=2,b=3
∴椭圆的方程是:
x2
4
+
y2
3
=1

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2) 联立y=kx+m,
x2
4
+
y2
3
=1

整理得:(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0
△=64m2k2-4(4k2+3)(4m2-12)>0
解得:m2<4k2+3 ①
由韦达定理:x1+x2=-8mk/(3+4k2).x1x2=(4m2-12)/(3+4k2
所以y1y2=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=(3m2-12k2)/(3+4k2
因为以MV为直径的圆过椭圆C的右顶点A(2,0)
所以
AM
AN
=0

∴7m2+16mk+4k2=0
解得:m1=-2k/7,m2=-2k
经检验,当m=-2k/7或m=-2k时,①式均成立
而当m=-2k时,直线l:y=k(x-2),过右顶点,不合题意所以m=-2k/7,
∴直线l:y=k(x-2/7).过定点(2/7,0)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),其焦距为2c,若
c
a
=
5
-1
2
(≈0.618),则称椭圆C为“黄金椭圆”.
(1)求证:在黄金椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)中,a、b、c成等比数列.
(2)黄金椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦点为F2(c,0),P为椭圆C上的任意一点.是否存在过点F2、P的直线l,使l与y轴的交点R满足
RP
=-3
PF2
?若存在,求直线l的斜率k;若不存在,请说明理由.
(3)在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),以A(-a,0)、B(a,0)、D(0,-b)、E(0,b)为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1、F2.试写出“黄金双曲线”的定义;对于上述命题,在黄金双曲线中写出相关的真命题,并加以证明.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知,椭圆C以双曲线x2-
y23
=1
的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是左右顶点),且以线段MN为直径的圆过点A(2,0),求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知,椭圆C以双曲线数学公式的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是左右顶点),且以线段MN为直径的圆过点A(2,0),求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年天津市武清区杨村四中高三(上)第三次月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知,椭圆C以双曲线的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是左右顶点),且以线段MN为直径的圆过点A(2,0),求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

查看答案和解析>>

同步练习册答案