Question

设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）若β是关于t的一元二次方程t²-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）ⁿ|β-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C₁．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C₂．且两条曲线都经过点，求轨迹C₁与C₂的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C₂上存在点A，使点A与点B（x，0）（x＞0）的最小距离不小于，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出m的值．
（2）方法一：分n为奇数和偶数，化出a的范围，联立双曲线方程，求出a值，推出双曲线方程即可．
方法二：由题意分a的奇偶数，联立方程组，求出复数β，解出a，根据双曲线的定义求出双曲线方程．
（3）设点A的坐标，求出|AB|表达式，根据x范围，x的对称轴讨论，时，|AB|的最小值，不小于，求出实数x的取值范围．
解答：解：（1）β是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根，（2分）
则，所以m=4（2分）
（2）方法1：①当n为奇数时，|α+3|-|α-3|=2a，常数），
轨迹C₁为双曲线，其方程为；（2分）
②当n为偶数时，|α+3|+|α-3|=4a，常数），
轨迹C₂为椭圆，其方程为；（2分）
依题意得方程组
解得a²=3，
因为，所以，
此时轨迹为C₁与C₂的方程分别是：，．（2分）
方法2：依题意得（2分）
轨迹为C₁与C₂都经过点，且点对应的复数，
代入上式得，（2分）
即对应的轨迹C₁是双曲线，方程为；
对应的轨迹C₂是椭圆，方程为．（2分）
（3）由（2）知，轨迹C₂：，设点A的坐标为（x，y），
则
=，
（2分）
当即时，
当即时，，（2分）
综上或．（2分），
点评：本题考查复数的基本概念，轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．