【题目】椭圆C: 的左右焦点分别是F1 , F2 , 离心率为 ,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1 , PF2 , 设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1 , PF2的斜率分别为k1 , k2 , 若k≠0,试证明 为定值,并求出这个定值.
【答案】
(1)解:把﹣c代入椭圆方程得 ,解得 ,
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,∴ .
又 ,联立得 解得 ,
∴椭圆C的方程为
(2)解:如图所示,设|PF1|=t,|PF2|=n,
由角平分线的性质可得 ,
又t+n=2a=4,消去t得到 ,化为 ,
∵a﹣c<n<a+c,即 ,也即 ,解得 .
∴m的取值范围;
(3)解:证明:设P(x0,y0),
不妨设y0>0,由椭圆方程 ,
取 ,则 = ,
∴k= = .
∵ , ,
∴ = ,
∴ = =﹣8为定值.
【解析】(1)把﹣c代入椭圆方程得 ,解得 ,由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,可得 .再利用 ,及a2=b2+c2即可得出;(2)设|PF1|=t,|PF2|=n,由角平分线的性质可得 ,利用椭圆的定义可得t+n=2a=4,消去t得到 ,化为 ,再根据a﹣c<n<a+c,即可得到m的取值范围;(3)设P(x0 , y0),不妨设y0>0,由椭圆方程 ,取 ,利用导数即可得到切线的斜率,再利用斜率计算公式即可得到k1 , k2 , 代入即可证明结论.
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【题目】随着手机的普及,大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间,某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过小时的名大学生,将人使用手机的时间分成组:,,,,分别加以统计,得到下表,根据数据完成下列问题:
使用时间/时 | |||||
大学生/人 |
(1)完成频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图估计大学生使用手机的平均时间.
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【题目】抛物线C1: 的焦点与双曲线C2: 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知一组样本点,其中.根据最小二乘法求得的回归方程是,则下列说法正确的是( )
A. 若所有样本点都在上,则变量间的相关系数为1
B. 至少有一个样本点落在回归直线上
C. 对所有的预报变量,的值一定与有误差
D. 若斜率,则变量与正相关
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
(2)通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”性别有关?
参考公式,其中
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,,,,,设的外接圆圆心为.
(1)若与直线相切,求实数的值;
(2)设点在上,使的面积等于12的点有且只有三个,试问这样的是否存在?若存在求出的标准方程;若不存在,说明理由.
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【题目】下列说法正确的个数有( )
①用刻画回归效果,当越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好;
②命题“,”的否定是“,”;
③若回归直线的斜率估计值是,样本点的中心为,则回归直线方程是;
④综合法证明数学问题是“由因索果”,分析法证明数学问题是“执果索因”。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (其中为参数).现以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)求直线被曲线截得的线段的长度.
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