Question

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∪BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=2

2

．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求三棱锥B-DOM的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD．
（2）根据题中数据，算出DO=

1

2

BD=2，OM=

1

2

AB=2，从而得到OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得到OD为三棱锥D-BOM的高．算出△BOM的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D-BOM的体积，即可得到三棱锥B-DOM的体积．

解答：解：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．
又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O为BD的中点，∴DO=

1

2

BD=2．
∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=

1

2

AB=2．
因此，OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．
∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．
∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高．
由OD=2，S_△BOM=

1

2

×OB×BM×sin60°=

3

，
所以V_B-DOM=V_D-BOM=

1

3

S_△BOM=×DO=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

．

点评：本题给出平面折叠问题，求证线面平行、面面垂直并求三棱锥的体积，着重考查了线面平行判定定理、线面垂直与面面垂直的判定和锥体的体积求法等知识，属于中档题．