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    设两个非零向量
    e1
    和
    e2
    不共线．
    （1）如果
    AB
    =
    e1
    +
    e2
    ，
    BC
    =2
    e1
    +8
    e2
    ，
    CD
    =3
    e1
    -3
    e2
    ，求证：A、B、D三点共线；
    （2）若|
    e1
    |    =2，|
    e2
    |    =3，
    e1
    与
    e2
    的夹角为60°，是否存在实数m，使得m
    e1
    +
    e2
    与
    e1
    -
    e2
    垂直？
    分析：（1）要证A、B、D三点共线，只需证明
    AD
    =λ
    AB
    即可．
    （2）要使m
    e1
    +
    e2
    与
    e1
    -
    e2
    垂直，，则（m
    e1
    +
    e2
    ）•（
    e1
    -
    e2
    ）=0，展开求出m的值即可．
    解答：证明：（1）∵
    AD
    =
    AB
    +
    BC
    +
    CD
    =（
    e1
    +
    e2
    ）+（2
    e1
    +8
    e2
    ）+（3
    e1
    -3
    e2
    ）=6（
    e1
    +
    e2
    ）=6
    AB

    ∴
    AD
    ∥
    AB
    且
    AD
    与
    AB
    有共同起点，∴A、B、D三点共线

    （2）假设存在实数m，使得m
    e1
    +
    e2
    与
    e1
    -
    e2
    垂直，则（m
    e1
    +
    e2
    ）•（
    e1
    -
    e2
    ）=0
    ∴m
    e1
    2    +(1-m)
    e1
    •
    e2
    -
    e2
    2    =0    ，
    ∵|
    e1
    |    =2，|
    e2
    |    =3，
    e1
    与
    e2
    的夹角为60°
    ∴
    e1
    2    =|
    e1
    |2=4    ，
    e2
    2    =|
    e2
    |2=9    ，
    e1
    •
    e2
    =|
    e1
    ||
    e2
    |cosθ=2×3×cos60°=3
    ∴4m+3（1-m）-9=0，
    ∴m=6，故存在实数m=6，使得m
    e1
    +
    e2
    与
    e1
    -
    e2
    垂直．
    点评：本题考查了平面向量的共线与垂直，属于基础题型．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设两个非零向量e1和e2不共线．
    （1）如果
    AB
    =
    e1
    -
    e2
    ，
    BC
    =3
    e1
    +2
    e2
    ，
    CD
    =-8
    e1
    -2
    e2
    ，求证：A、C、D三点共线；
    （2）如果
    AB
    =
    e1
    +
    e2
    ，
    BC
    =
    2e1
    -
    3e2
    ，
    CD
    =2
    e1
    -k
    e2
    ，且A、C、D三点共线，求k的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）化简：
    sin(
    π
    2
    +α)•cos(
    π
    2
    -α)
    cos(π-α)
    +
    sin(π-α)•sin(-α)
    sin(π+α)
    ；
    （2）设两个非零向量
    e1
    和
    e2
    不共线，且
    AB
    =
    e1
    +2
    e2
    ，
    BC
    =-2
    e1
    +3
    e2
    ，
    CD
    =5
    e1
    +3
    e2
    ，求证：A，B，D三点在同一直线上．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知|
    a
    |=4，|
    b
    |=3，(2
    a
    -3
    b
    )•(2
    a
    +
    b
    )=61    ，求
    a
    •
    b
    的值；
    （2）设两个非零向量
    e1
    和
    e2
    不共线．如果
    AB
    =
    e1
    +
    e2
    ，
    BC
    =2
    e1
    +8
    e2
    ，
    CD
    =3
    e1
    -3
    e2
    ，
    求证：A、B、D三点共线．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设两个非零向量e1和e2不共线.

    （1）如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-8e1-2e2，

    求证：A、C、D三点共线；

    （2）如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.

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