Question

（1）已知k、n∈N^*，且k≤n，求证：k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

；
（2）设数列a₀，a₁，a₂，…满足a₀≠a₁，a_i-1+a_i+1=2a_i（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，p(x)=a0

C

0 n

(1-x)n+a1

C

1 n

x(1-x)n-1+a2

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+an

C

n n

xn是关于x的一次式．

Answer 1

分析：（1）利用组合的阶乘公式，分别化简左、右边，即可得证；
（2）由题意得数列a₀，a₁，a₂，…为等差数列，且公差为a₁-a₀≠0，利用p(x)=a0

C

0 n

(1-x)n+a1

C

1 n

x(1-x)n-1+a2

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+an

C

n n

xn=a0

C

0 n

(1-x)n+[a0+(a1-a0)]

C

1 n

x(1-x)n-1+…+[a0+n(a1-a0)]

C

n n

xn，即可化简得到结论．

解答：证明：（1）左边=k

C

k n

=k•

n!

k!(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

，
右边=n•

(n-1)!

(k-1)!(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

，
所以k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

；
（2）由题意得数列a₀，a₁，a₂，…为等差数列，且公差为a₁-a₀≠0．
则p(x)=a0

C

0 n

(1-x)n+a1

C

1 n

x(1-x)n-1+a2

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+an

C

n n

xn=a0

C

0 n

(1-x)n+[a0+(a1-a0)]

C

1 n

x(1-x)n-1+…+[a0+n(a1-a0)]

C

n n

xn=a0[

C

0 n

(1-x)n+

C

1 n

x(1-x)n-1+…+

C

n n

xn]+(a1-a0)[

C

1 n

x(1-x)n-1+2

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+n

C

n n

xn]=a0[(1-x)+x]n+(a1-a0)nx[

C

0 n-1

(1-x)n-1+

C

1 n-1

x(1-x)n-2+…+

C

n-1 n-1

xn-1]=a0+(a1-a0)nx[x+(1-x)]n-1=a₀+（a₁-a₀）nx，
所以对任意的正整数n，p（x）是关于x的一次式．

点评：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．