Question

有赤玉2块，青玉3块，白玉5块，将这10块玉装在一个袋内，从中取出4块．取出的玉中同色的2块作为一组．赤色一组得5点，青色一组得3点，白色一组得1点，得点合计数用x表示．
（1）x共有多少种值？其中最大值是什么，最小值是什么？
（2）x取最大值的概率是多少？
（3）x取最小值的概率是多少？x取最小值时，取出3种不同颜色的玉的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）由题意知，本题包含两种情况，一是同色组有两组的，二是同色组只有一组的，根据这两种情况，列举出所有的结果，写出这7种情况对应的点数，得到所有的点数，看出最大值和最小值．
（2）根据第一问列出的情况得到x取最大值时，即赤玉2块，青玉2块，表示出事件数和试验发生包含的所有事件数，根据等可能事件的概率，得到结果．
（3）由题意知x取最小值有两种情形：{白，白，白，△}（△为白色以外的玉），{白，白，赤，青}，这两种情形的取法数分别为C₅³C₅¹和C₅²C₂¹C₃¹，列出试验发生包含的所有事件数，得到概率．

解答：解：（1）满足条件的同色组有两组的情况为：
{赤，赤，青，青}8点，{赤，赤，白，白}6点，{青，青，白，白}4点，{白，白，白，白}2点．
同色组只有一组的情况为：
{赤，赤，△，○}5点（△，○为异色的玉，下同），{青，青，△，○}3点，{白，白，△，○}1点．
由上可知，x共有7种值，最大值为8，最小值为1．
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率
试验发生包含的事件是取出的不同方法总数为C₁₀⁴=210．
x取最大值时，即赤玉2块，青玉2块的取法种数为C₂²C₃²=3，
∴其概率为

3

210

=

1

70

．
（3）x取最小值有两种情形：{白，白，白，△}（△为白色以外的玉），{白，白，赤，青}，
这两种情形的取法数分别为C₅³C₅¹=50和C₅²C₂¹C₃¹=60，
∴x取最小值的概率为

50+60

210

=

11

21

．
x取最小值时，取3种不同颜色的玉的取法只有C₅²C₂¹C₃¹=60种，
∴所求概率为

60

60+50

=

6

11

．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查排列组合的实际应用，是一个题意比较难读懂和比较难表达的题目，这种题目一般不会出现在解答题目中．可以从题目中摘出一部分作为一个选择题目．