Question

设函数f(x)＝x²－(a－2)x－alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
(3)若方程f(x)＝c有两个不相等的实数根x₁、x₂，求证：f′>0.

Answer 1

（1）单调增区间为，单调减区间为（2）3（3）见解析

(1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－ (x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，由f′(x)>0，得x> ；由f′(x)<0，得0<x< .
所以函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
(2)解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点，则a>0，且f(x)的最小值f <0，即－a²＋4a－4aln <0.因为a>0，所以a＋4ln－4>0.
令h(a)＝a＋4ln－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln －1＝ln－1>0，所以存在a₀∈(2，3)，h(a₀)＝0.
当a>a₀时，h(a)>0；当0<a<a₀时，h(a)<0.所以满足条件的最小正整数a＝3.
又当a＝3时，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a＝3时，f(x)有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3.
(3)证明：因为x₁、x₂是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知a>0.
不妨设0<x₁<x₂，则－(a－2)x₁－alnx₁＝c，－(a－2)x₂－alnx₂＝c.
两式相减得－(a－2)x₁－alnx₁－＋(a－2)·x₂＋alnx₂＝0，
即＋2x₁－－2x₂＝ax₁＋alnx₁－ax₂－alnx₂＝a(x₁＋lnx₁－x₂－lnx₂)．
所以a＝.
因为f′＝0，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，
故只要证> 即可，即证明x₁＋x₂> ，
即证明－＋(x₁＋x₂)(lnx₁－lnx₂)< ＋2x₁－－2x₂，
即证明ln <.设t＝ (0<t<1)．
令g(t)＝lnt－，则g′(t)＝.
因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0，
所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．
又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证．