Question

12．已知$\overrightarrow a$=（1，-2），$\overrightarrow b$=（3，4），若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$夹角为锐角，则其数量积大于0，还需要保证λ≠0，问题得以解决．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（1，-2），$\overrightarrow b$=（3，4），$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$夹角为锐角，
∴$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$）＞0，
∴$\overrightarrow a$²+λ$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＞0，
即5+λ（1×3-2×4）＞0，
解得λ＜1，
又λ=0时，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$夹角为0°，
综上所述实数λ的取值范围是（-∞，0）∪（0，1），
故选：D．

点评 本题考查数量积表示两个向量的夹角，考查计算能力，是基础题．