Question

（2012•顺义区二模）已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，点F（1，0）为椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆G交于M、N两点，若在x轴上存在着动点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，试求出m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用离心率计算公式及a，b，c的关系可得

e= c a = 2 2 a2=c2+b2 c=1

，解得即可；
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），t=

1

k

，线段MN的中点E（x₀，y₀）．设直线l：ty=x-1，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，进而得到E的坐标，用t表示．因为在x轴上存在着动点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，
所以必有PE⊥MN，k•k_PE=-1，即可求出m的取值范围．

解答：解：（I）由题意可得

e= c a = 2 2 a2=c2+b2 c=1

，解得

a2=2 b=c=1

，故椭圆G的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）当k=0时，不满足题意．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），t=

1

k

，线段MN的中点E（x₀，y₀）．
设直线l：ty=x-1，联立

ty=x-1 x2+2y2=2

化为（t²+2）y²+2ty-1=0，
∴y1+y2=

-2t

t2+2

，∴y0=

y1+y2

2

=

-t

t2+2

．
∴x₀=ty₀+1=

2

t2+2

，因此E(

2

t2+2

，-

t

t2+2

)．
因为在x轴上存在着动点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，
所以必有PE⊥MN，∴

1

t

•

-t t2+2

2 t2+2 -m

=-1，
化为m=

1

t2+2

，
∵t²＞0．
∴0＜m＜

1

2

．
故m的取值范围是(0，

1

2

)．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线相互垂直于斜率之间的关系等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力、计算能力．