分析 (I)由数列{an}满足a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$=${a}_{n}+1-\frac{1}{{a}_{n}+2}$,可得an+1-an=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$>0,因此数列{an}为单调递增数列.利用数学归纳法证明即可.
(II)由(I)可得:an≥$\frac{2n+1}{3}$,可得Sn≥$\frac{2}{3}{n}^{2}$+$\frac{4n}{3}$.只要证明$\frac{2}{3}{n}^{2}$+$\frac{4n}{3}$≥$\frac{1}{3}$n2+$\frac{4}{5}$n-$\frac{8}{15}$即可得出.
解答 证明:(I)∵数列{an}满足a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$=${a}_{n}+1-\frac{1}{{a}_{n}+2}$,
∴an+1-an=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$>0,因此数列{an}为单调递增数列.
下面利用数学归纳法证明:
(1)∵a1=1,则$\frac{2×1+1}{3}$≤1=a1≤1,即n=1时成立.
(2)假设n=k(k∈N*)时,$\frac{2k+1}{3}$≤ak≤k,
∴ak+1=$\frac{{a}_{k}^{2}+3{a}_{k}+1}{{a}_{k}+2}$≤$\frac{{k}^{2}+3k+1}{k+2}$<k+1.
另一方面,ak+1=$\frac{{a}_{k}^{2}+3{a}_{k}+1}{{a}_{k}+2}$≥$\frac{(\frac{2k+1}{3})^{2}+3×\frac{2k+1}{3}+1}{\frac{2k+1}{3}}$≥$\frac{2(k+1)+1}{3}$.
∴n=k+1时不等式成立.
综上可得:?n∈N*,$\frac{2n+1}{3}$≤an≤n成立.
(II)由(I)可得:an≥$\frac{2n+1}{3}$,
∴Sn≥$\frac{n(3+2n+1)}{3}$=$\frac{2}{3}{n}^{2}$+$\frac{4n}{3}$.
而$\frac{2}{3}{n}^{2}$+$\frac{4n}{3}$-($\frac{1}{3}$n2+$\frac{4}{5}$n-$\frac{8}{15}$)=$\frac{1}{3}$n2+$\frac{8}{15}$n+$\frac{8}{15}$>0.
∴当n≥5时,Sn≥$\frac{1}{3}$n2+$\frac{4}{5}$n-$\frac{8}{15}$.
点评 本题考查了递推关系、数学归纳法、等差数列的通项公式及其求和公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-1,$\frac{1}{4}$) | B. | (-1,$\frac{1}{2}$)∪(1,+∞) | C. | (-∞,-1)∪(4,+∞) | D. | (-1,4) |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
患病 | 未患病 | 总计 | |
未服用药 | 25 | 15 | 40 |
服用药 | c | d | 40 |
总计 | M | N | 80 |
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (1,2) | B. | (2,3) | C. | (3,4) | D. | (1,2)与(2,3) |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
序号 | 数学 | 物理 |
A | 60 | 50 |
B | 70 | 40 |
C | 80 | 70 |
D | 90 | 80 |
E | 100 | 80 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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