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已知函数f(x)=x3-ax2,其中a为实常数.
(1)设当x∈(0,1)时,函数y=f(x)图象上任一点P处的切线的斜线率为k,若k≥-1,求a的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=f(x)+a(x2-3x)的最大值.

解:(1)∴k=f'(x)=3x2-2ax,x∈(0,1).
由k≥-1,得3x2-2ax+1≥0,即a≤恒成立
∴a≤(3x+min
∵当x∈(0,1)时,3x+≥2=2,当且仅当x时取等号.
∴(3x+min=.故a的取值范围是(-∞,].
(2)设g(x)=f(x)+a(x2-3x)=x3-3ax,x∈[-1,1]则
g′(x)=3x2-3a=3(x2-a).
①当a≥1时,∴g′(x)≤0.从而g(x)在[-1,1]上是减函数.
∴g(x)的最大值为g(-1)=3a-1.
②当0<a<1时,g′(x)=3(x+)(x-).
由g′(x)>0得,x>或x<-:由g′(x)<0得,-<x<
∴g(x)在[-1,-],[,1]上增函数,在[-]上减函数.
∴g(x)的极大值为g(-)=2a
由g(-)-g(1)=2a+3a-1=(+1)2•(2-1)知
当2-1<0,即0≤a<时,g(-)<g(1)
∴g(x)max=g(1)=1-3a.
当2-1≥0,即<a<1时,g(-)≥g(1)
∴g(x)max=g(-)=2a
③当a≤0时,g′(x)≥0,从而g(x)在[-1,1]上是增函数.
∴g(x)max=g(1)=1-3a
综上分析,g(x)max=
分析:(1)根据导数的几何意义可将题转化为求使得f'(x)=3x2-2ax≥-1,x∈(0,1)恒成立的a的取值范围,进而利用分离参数即可求得结果;
(2)求函数g(x)=f(x)+a(x2-3x)=x3-3ax,x∈[-1,1]的导数,对方程g′(x)=3x2-3a=3(x2-a)=0有无实根,和有根,根是否在区间[-1,1]内进行讨论,求得函数的极值,再与f(-1)、f(1)比较大小,确定函数的最大值.
点评:考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题,对方程g′(x)═0有无实根,和有根,根是否在区间[-1,1]内进行讨论,体现了分类讨论的思想方法,增加了题目的难度,同时考查了运算能力,属难题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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